\documentclass[paper=a4, fontsize=11pt]{scrartcl} % A4 paper and 11pt font size

\usepackage[T1]{fontenc} % Use 8-bit encoding that has 256 glyphs
\usepackage{fourier} % Use the Adobe Utopia font for the document - comment this line to return to the LaTeX default
\usepackage[english]{babel} % English language/hyphenation
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm} % Math packages
\usepackage[UTF8]{ctex}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{listings}
\usepackage{tikz}
\usepackage{lipsum} % Used for inserting dummy 'Lorem ipsum' text into the template
\usepackage{clrscode}
\usepackage{sectsty} % Allows customizing section commands
\usepackage[framed,numbered,autolinebreaks,useliterate]{mcode}
\usepackage{multirow}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage[colorlinks,linkcolor=red]{hyperref}
\usetikzlibrary{graphs}
\usetikzlibrary{shapes.arrows}
\allsectionsfont{\centering \normalfont\scshape} % Make all sections centered, the default font and small caps

\usepackage{fancyhdr} % Custom headers and footers
\pagestyle{fancyplain} % Makes all pages in the document conform to the custom headers and footers
\fancyhead{} % No page header - if you want one, create it in the same way as the footers below
\fancyfoot[L]{} % Empty left footer
\fancyfoot[C]{} % Empty center footer
\fancyfoot[R]{\thepage} % Page numbering for right footer
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} % Remove header underlines
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt} % Remove footer underlines
\setlength{\headheight}{13.6pt} % Customize the height of the header

\numberwithin{equation}{section} % Number equations within sections (i.e. 1.1, 1.2, 2.1, 2.2 instead of 1, 2, 3, 4)
\numberwithin{figure}{section} % Number figures within sections (i.e. 1.1, 1.2, 2.1, 2.2 instead of 1, 2, 3, 4)
\numberwithin{table}{section} % Number tables within sections (i.e. 1.1, 1.2, 2.1, 2.2 instead of 1, 2, 3, 4)

\setlength\parindent{0pt} % Removes all indentation from paragraphs - comment this line for an assignment with lots of text

%----------------------------------------------------------------------------------------
%	TITLE SECTION
%----------------------------------------------------------------------------------------

\newcommand{\horrule}[1]{\rule{\linewidth}{#1}} % Create horizontal rule command with 1 argument of height

\title{
\normalfont \normalsize
\textsc{中国科学院大学}\ \textsc{计算机与控制学院} \\ [25pt] % Your university, school and/or department name(s)
\horrule{0.5pt} \\[0.4cm] % Thin top horizontal rule
\huge 图像处理与分析第四次作业 \\ % The assignment title
\horrule{2pt} \\[0.5cm] % Thick bottom horizontal rule
}

\author{黎吉国&201618013229046} % Your name

\date{\normalsize\today} % Today's date or a custom date

\begin{document}

\maketitle % Print the title
\newpage
\section{answer for 1st}
请用公式列举并描述你所知道的傅里叶变换的性质。\\
\begin{enumerate}
\item 线性性质
\[ \mathcal{F}(af_1(t)+bf_2(t))=a\mathcal{F}_1(j\omega)+b\mathcal{F}_2(j\omega) \]
\item 时移性质
\[  \mathcal{F}(f(t+t_0))=\mathcal{F}(j\omega)e^{j\omega t_0} \]
\item 频移性质
\[  \mathcal{F}^{-1}(F(j(\omega+\omega_0)))=f(t)e^{-j\omega_0 t} \]
\item 对称性
\[ \mathcal{F}(F(jt))=2\pi f(-\omega) \]
\item 实变换的共轭对称性
\[ F(\omega)=\overline{F(-\omega)}, \mbox f(t)\text{是实函数} \]
\item 时域微分
\[ \frac{d^n f(t)}{dt^n}=(j\omega)^n F(j\omega) \]
\item 频域微分
\[ \mathcal{F}(t^nf(t))=(j)^n \frac{d^nF(j\omega)}{d\omega^n} \]
\item 卷积性质
\[ \mathcal{F}(f_1(t)*f_2(t))=F_1(j\omega)F_2(j\omega) \]
\end{enumerate}
\textbf{引用：}\\
\href{http://www.61ic.com/Technology/Imitate/201103/31003.html}{傅里叶变换的基本性质(一)}\\
\href{http://www.61ic.com/Technology/Imitate/201103/31002.html}{傅里叶变换的基本性质(二)}\\

\newpage
\section{answer for 2ed}
课程中详细讨论了频域滤波时需要图像延拓，在该节中，说明了需要延拓的图像在图像中的行和列的末尾要填充零，
如果我们把图像放在中间而在周围填充零，不改变零的总数，请问会有区别吗？请解释\\
\textbf{solution:}\\
这种情况下，我们最后要在中间位置提取滤波之后的图像，不会产生缠绕错误。原因如下：
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=2.0in,height=2.4in]{raw.png}
\includegraphics[width=2.5in,height=2.5in]{padding1.png}
\caption{末尾填充零后的填充效果(左图为原图)}
\label{fig:graph}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=2.0in,height=2.4in]{raw.png}
\includegraphics[width=2.5in,height=2.5in]{padding2.png}
\caption{周围填充零后的填充效果}
\label{fig:graph}
\end{figure}
可见两者周期排列之后的效果是一样的，所以可以得到正确的结果。
\newpage
\section{answer for 3th}
假设我们有一个[0，1]上的均匀分布随机数发生器U(0,1), 请基于它构造指数分布的随机数发生器，
推导出随机数生成方程。若我们有一个标准正态分布的随机数发生器N(0,1)，请推导出对数正态分布的随机数生成方程。
 \\ \textbf{solution:}\\
这里我们有两个思路：
\begin{enumerate}
  \item 一个任意分布的累积分布函数(CDF)将该分布的随机变量映射为一个均匀分布，则其逆函数就把一个均匀分布的随机变量映射为该分布的随机变量。
  \[
  \begin{split}
    \text{for Gaussian} X &\sim N(0,1)\\
    f_X(x)&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\\
    F_X(x)&=\int_{-\infty}^{x} f_X(w)dw\\
    \text{if }Z&\sim U(0,1)\\
    x&=F_X^{-1}(z)\\
    \text{then }X&\sim N(0,1)
  \end{split}
  \]
  这是理论上的生成方法，但是由于高斯函数的积分无法用初等函数表示，所以，得不到解析解。
  \item 独立同分布的中心极限定理:设随机变量$X_1,X_2,\ldots X_n$独立同分布，$E(X)=\mu,D(X)=\sigma^2$
  \[
  Y_n=\frac{\sum_{k=1}^n X_k-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}
  \]
  当$n$充分大时，有$Y_n\sim N(0,1)$近似成立.\\
  我们有$Z\sim U(0,1),E(Z)=0.5,D(Z)=\frac{1}{12}$,$Z_k$都是独立同分布的随机变量\\
  \[
  X=\frac{\sum_{k=1}{n}Z_k-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}=\frac{\sum_{k=1}^n X_k-n/2}{\sqrt{n/12}}
  \]
  则有当$n$充分大时，$Y_n\sim N(0,1)$近似成立。
\end{enumerate}

\end{document}
